GPT-6 Astra logra un gran avance en la conjetura de Goldbach

GPT-6 Astra, en dos páginas y dos días, logró una hazaña que ha atormentado a la humanidad durante casi 300 años: demostró incondicionalmente la versión debilitada de Liouville de la conjetura de Goldbach, aplicándose a todos los números pares, y ya pasó la verificación formal en Lean 4, sin fallos. Lo más impactante es que no se basó en un poder computacional abrumador, sino en una lógica elegante que deja asombrados incluso a los matemáticos humanos.

¡Gran avance en la comunidad matemática!

Recientemente, GPT-6 Astra ha logrado nuevos progresos en la conjetura de Goldbach.

El usuario Captain Sude anunció: ¡Astra ha demostrado con éxito una conjetura de tipo Goldbach sobre la función de Liouville!

En concreto, demostró incondicionalmente la forma débil de Liouville de la conjetura de Goldbach.

Lo más sorprendente es que, a diferencia de lo que imaginábamos, esta vez Astra no se limitó a un poder computacional abrumador que logra milagros a base de fuerza bruta, sino que realizó un razonamiento lógico muy elegante.

Además, esta demostración ya ha superado la verificación formal en Lean 4.

La perla inalcanzable

Antes de esto, este fantasma, la conjetura de Goldbach, ha atormentado a los matemáticos humanos durante casi tres siglos.

En 1742, Goldbach propuso esta conjetura en una carta a Euler: «Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos números primos».

Por ella, innumerables personas han dedicado sus esfuerzos. Desde Hardy y Littlewood hasta Chen Jingrun demostrando «1+2», la humanidad nunca ha podido alcanzar la perla de la corona: «1+1».

¡Esto se debe a que la distribución de los números primos es demasiado extraña!

Ya que el enfoque directo no funciona, los matemáticos tuvieron una idea brillante: crear una «versión sustituta»: la versión de Liouville de la conjetura de Goldbach.

Para simular los números primos, los matemáticos introdujeron una herramienta maravillosa: la función de Liouville.

Esta función se denota como , donderepresenta el número total de factores primos que contiene un número.

Su regla es como un interruptor que solo reconoce «par o impar»: si un número contiene una cantidad par de factores primos, entonces λ(n)=1.

Si contiene una cantidad impar de factores primos, entonces λ(n)=-1.

Todos los números primos (como 2, 3, 5, 7, 11) tienen un valor de función de Liouville de -1. Sin embargo, lo contrario no es cierto, por ejemplo, 8 y 12 también tienen λ=-1.

En 2018, en el conocido foro matemático MathOverflow, alguien propuso una versión debilitada de la conjetura de Goldbach:

Para todo número par N mayor que 2, ¿siempre se pueden encontrar dos enteros positivos a y b, tales que N=a+b, y λ(a)=λ(b)=−1?

Si la conjetura clásica de Goldbach es cierta, entonces los valores de Liouville de esos dos primos serían necesariamente -1, por lo que esta «conjetura de Liouville» también sería absolutamente cierta.

Pero ahora, los matemáticos han relajado las condiciones: ¡los sumandos no tienen que ser primos, solo que su número de factores primos sea impar!

Avance bajo la sombra de Riemann: la IA presenta dos páginas asombrosas

Ya que se relajaron las condiciones, ¿debería ser fácil de demostrar? ¡Resulta que sigue siendo increíblemente difícil!

El núcleo del problema es que los matemáticos quieren estudiar si estos signos alternantes positivos y negativos, bajo la combinación aditiva, se cancelan entre sí como lanzar una moneda, revelando así un orden profundo oculto bajo la adición. Esto se relaciona con tender un puente entre los «bloques multiplicativos» y la «combinación aditiva» en matemáticas.

Hasta 2024, el matemático Alexander P. Mangerel finalmente logró un avance. En un artículo, demostró que para todos los números pares suficientemente grandes, esta conjetura es cierta.

Enlace: https://arxiv.org/abs/2404.12117

¡Pero! Su demostración tiene dos limitaciones.

1. «Suficientemente grande»: significa que no incluye los números pares más pequeños.

2. «GRH»: su demostración depende en gran medida de la hipótesis generalizada de Riemann. Es decir, solo si la hipótesis generalizada de Riemann es cierta, su conclusión es válida.

Y esta vez, ¡Astra y el equipo de Captain Sude rompieron directamente esas dos cadenas!

Al principio, Astra presentó un PDF de solo 2 páginas.

En este artículo conciso, Astra anunció:

Sin necesidad de la hipótesis generalizada de Riemann, se puede demostrar incondicionalmente: ¡todos los enteros positivos divisibles por 4 pueden expresarse como la suma de dos enteros positivos con valor de Liouville -1!

En el PDF, Astra utilizó hábilmente una «cota de correlación incondicional» del artículo de Mangerel, combinado con un método de descenso extremadamente ingenioso.

La lógica central del teorema es una demostración por contradicción: supongamos que existe un número impar m (no divisible por 3), y a la escala de 4m, no hay ningún par de números cuya suma sea 4m y cuyos valores de Liouville sean ambos -1.

A continuación, Astra comenzó a acorralar paso a paso.

1. Como multiplicar por 4 no cambia el valor de Liouville, m tampoco puede descomponerse en dos números con signo negativo.

2. Como multiplicar por 2 invierte el valor de Liouville (se añade un factor primo 2), 2m no puede descomponerse en dos números con signo positivo.

3. Luego, la IA construyó el caso a+b=m con λ(a)=λ(b)=1, eligió el par con la menor diferencia b−a, y utilizando su relación de divisibilidad con 3, ¡forzó una contradicción!

Descubrió que si se supone que 4m no tiene tal descomposición, entonces mediante la aproximación alternada de multiplicación y adición, eventualmente se obliga localmente a que todos los números tengan signos opuestos, lo que contradice directamente la cota demostrada previamente por Mangerel.

Así, utilizando solo derivaciones algebraicas elementales (incluso un estudiante de secundaria puede entender el proceso de derivación), Astra descubrió un caso incondicionalmente válido.

48 horas para poner fin por completo a todos los números pares

Y aún no ha terminado.

Según reveló el autor del proyecto, Captain Sude, después de que Astra demostrara el caso de los «múltiplos de 4» el primer día, al día siguiente encontró una nueva ruta de demostración elemental que generalizó directamente el resultado a todos los números pares mayores que 2.

Esta vez, presentó esta afirmación central:

Sin ninguna restricción de «suficientemente grande», sin conjuntos excepcionales finitos, ¡todos los números pares, incondicionalmente!

Y su idea de demostración es aún más asombrosa.

No utilizó la fuerza bruta ni comprimió estimaciones analíticas previas, sino que realizó una elegante «transformación estructural».

La cadena lógica de la IA es la siguiente.

Primer paso: buscar un chivo expiatorio. La IA primero demuestra que para todo número primo p mayor que 3, existen enteros positivos u,v, tales que 2p=u+v, y sus valores de Liouville son ambos 1. ¿Qué pasa si no se cumple? Esto constituye una «ausencia de patrones de signos aditivos».

Segundo paso: forzar a revelar la verdadera naturaleza. Extiende la función de Liouville al cuerpo finito Fp, definiendo una función G. Debido a la «inexistencia de descomposición aditiva» anterior, esta función G es forzada localmente a tener defectos de simetría multiplicativa (Defects).

Tercer paso: la conmutatividad perfecta. ¡Este es el paso más brillante de la demostración! Como multiplicar por -2 y luego por -3 es lo mismo que multiplicar por -3 y luego por -2, la IA utiliza esta propiedad «conmutativa» para que los dos caminos se cancelen mutuamente, ¡eliminando finalmente todos los defectos no nulos!

Cuarto paso: propagación global. Utilizando un lema de descenso, propaga la regla multiplicativa local como un virus a todo el cuerpo finito, obligando a la función G a convertirse en un objeto multiplicativo estricto global.

Quinto paso: golpe fatal (la reciprocidad cuadrática crea contradicción). Dado que G se ha convertido en una función multiplicativa estricta, el cuadrado de cualquier número debe tener valor G igual a 1. Sin embargo, según la ley de reciprocidad cuadrática, se puede encontrar un primo ℓ en el cuerpo finito que es claramente un «cuadrado», pero como es primo, su propio valor de Liouville debe ser -1.

Entonces, 1 = -1. ¡Contradicción!

Con esto, la suposición inicial de «inexistencia de descomposición» queda completamente destruida. ¡La conjetura de Liouville–Goldbach se cumple incondicionalmente en todos los números pares!

Esta ruta argumental que convierte los obstáculos aditivos en rigidez multiplicativa es simplemente demasiado elegante, reflejando un pensamiento de alto nivel de abstracción e intuición.

Verificación formal en Lean 4 completada

Esta vez, Astra también presentó simultáneamente la verificación formal completa en Lean 4.

Pasar la verificación en Lean 4 significa que es absolutamente correcto desde el punto de vista lógico.

El usuario @SUNNY99 en Zhihu realizó de inmediato una revisión independiente de la versión v1.0.0 de código abierto de Astra. El resultado fue impactante: ¡la demostración en Lean se puede recompilar perfectamente!

El teorema final coincide completamente con lo afirmado en el artículo. No hay ningún «sorry» en el código (que en Lean representa un hueco sin rellenar), no hay axiomas matemáticos personalizados inventados, todas las dependencias de axiomas son completamente normales, y las 249 pruebas de humo numéricas para números pares pasaron todas.

Al ver esto, algunos amigos pueden preguntar: ¿significa esto que la conjetura de Goldbach ha sido completamente resuelta?

Debemos decir con rigor: todavía no.

Lo que se ha resuelto actualmente es la versión debilitada de Liouville de la conjetura de Goldbach.

Pasar de «números compuestos con un número impar de factores primos» a «números primos» sigue siendo un abismo insalvable. La conjetura clásica de Goldbach sigue siendo ese fruto que cuelga en lo alto.

Pero esto no significa que este avance no sea grandioso.

En primer lugar, en el sentido de las matemáticas puras, ha construido un puente magnífico que conecta los «bloques multiplicativos» con la «combinación aditiva» en toda la teoría de números.

Esta podría ser la clave central para conquistar en el futuro la conjetura de Goldbach original.

En segundo lugar, en el sentido de la IA, este es un momento de singularidad histórica.

Siempre hemos pensado que la IA es buena en la memorización masiva y el cálculo por fuerza bruta, como jugar al go o calcular el plegamiento de proteínas. Pero esta vez, Astra ha mostrado una intuición y un gusto matemático asombrosos.

Es como un matemático extremadamente talentoso, que escribe una demostración que los matemáticos humanos califican de elegante.