GPT-6 Astra'dan Goldbach Sanısında Büyük Atılım

GPT-6 Astra, iki sayfa ve iki gün içinde, insanlığı yaklaşık 300 yıldır meşgul eden bir başarıya imza attı: Goldbach sanısının Liouville zayıflatılmış versiyonunu koşulsuz olarak kanıtladı, tüm çift sayılar alanını tamamen kapsadı ve Lean 4 biçimsel doğrulamasından geçti, sıfır hata. Daha da çarpıcı olanı, bunu ham hesaplama gücüyle değil, insan matematikçileri bile hayran bırakan zarif bir mantıkla başarması.

Matematik dünyasında büyük bir atılım!

Son zamanlarda, GPT-6 Astra Goldbach sanısında yeni bir ilerleme kaydetti.

İnternet kullanıcısı Captain Sude, Astra'nın Liouville fonksiyonuyla ilgili Goldbach benzeri bir sanıyı başarıyla kanıtladığını duyurdu!

Daha spesifik olarak, Goldbach sanısının Liouville zayıf formunu koşulsuz olarak kanıtladı.

Daha da şaşırtıcı olanı, hayal ettiğimizin aksine, Astra bu kez sadece kaba kuvvet hesaplama gücüne dayanmadı; çok zarif bir mantıksal akıl yürütme ortaya koydu.

Üstelik bu kanıt artık Lean 4 biçimsel doğrulamasından geçmiş durumda.

Alınamayan İnci

Bundan önce, Goldbach sanısı hayaleti insan matematikçilere yaklaşık üç yüzyıldır eziyet ediyordu.

1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı mektupta bu sanıyı ortaya attı: "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir."

Bunun için sayısız insan ömür tüketti. Hardy ve Littlewood'dan Chen Jingrun'un "1+2" kanıtına kadar, insanlık tacın mücevheri olan "1+1"e bir türlü ulaşamadı.

Bunun nedeni, asal sayıların dağılımının çok tuhaf olması!

Doğrudan çözüm işe yaramayınca, matematikçiler yaratıcı bir yaklaşımla bir "vekil edebiyatı" geliştirdiler: Goldbach sanısının Liouville versiyonu.

Asal sayıları taklit etmek için matematikçiler harika bir araç geliştirdiler: Liouville fonksiyonu.

Bu fonksiyon olarak gösterilir; buradaki bir sayının içerdiği asal çarpanların toplam sayısını temsil eder.

Kuralı, yalnızca "tek mi çift mi" diye bakan bir anahtar gibidir: Bir sayının içerdiği asal çarpan sayısı çift ise λ(n)=1 olur.

Asal çarpan sayısı tek ise λ(n)=-1 olur.

Tüm asal sayıların (örneğin 2, 3, 5, 7, 11) Liouville fonksiyon değerleri kesinlikle -1'dir! Ancak bunun tersi doğru değildir; örneğin 8 ve 12'nin λ değeri de -1'dir.

2018'de, ünlü matematik forumu MathOverflow'da birisi Goldbach sanısının zayıflatılmış bir versiyonunu önerdi:

2'den büyük her N çift sayısı için, N=a+b ve λ(a)=λ(b)=−1 olacak şekilde her zaman iki pozitif tam sayı a ve b bulunabilir mi?

Klasik Goldbach sanısı doğruysa, bu iki asal sayının Liouville değerleri zorunlu olarak -1 olacağından, bu "Liouville sanısı" da kesinlikle doğrudur.

Ancak şimdi matematikçiler koşulu gevşettiler: Toplananların saf asal sayı olması gerekmiyor; asal çarpan sayısının tek olması yeterli!

Riemann Gölgesinden Kaçış: AI'dan İki Sayfalık Şok

Koşullar gevşetildiğine göre kanıtlaması kolay olmalı, değil mi? Sonuç olarak yine de akıl almaz derecede zor!

Sorunun özü, matematikçilerin bu pozitif-negatif değişen işaretlerin toplama kombinasyonları altında yazı tura gibi birbirini götürüp götürmediğini inceleyerek toplamanın altında yatan derin düzeni ortaya çıkarmak istemeleridir. Bu, matematikteki "çarpma yapı taşları" ile "toplama kombinasyonları" arasındaki köprüyü kurmakla ilgilidir.

Ancak 2024 yılında matematikçi Alexander P. Mangerel nihayet bir atılım yaptı. Bir makalesinde, yeterince büyük tüm çift sayılar için bu sanının doğru olduğunu kanıtladı.

Bağlantı: https://arxiv.org/abs/2404.12117

Ancak kanıtı iki kısıtlama içeriyor.

1. "Yeterince büyük": Bu, daha küçük çift sayıları kapsamadığı anlamına gelir.

2. "GRH": Kanıtı büyük ölçüde genelleştirilmiş Riemann hipotezine dayanır. Yani, sonucu yalnızca genelleştirilmiş Riemann hipotezinin doğru olması koşuluyla geçerlidir.

Bu kez Astra ve Captain Sude'un ekibi bu iki zinciri doğrudan kırdı!

Başlangıçta Astra yalnızca 2 sayfalık bir PDF sundu.

Bu kısa ve öz makalede Astra şunu duyurdu:

Genelleştirilmiş Riemann hipotezine gerek kalmadan, 4'e bölünebilen tüm pozitif tam sayıların, Liouville değeri -1 olan iki pozitif tam sayının toplamı olarak ifade edilebileceği koşulsuz olarak kanıtlanmıştır!

PDF'de Astra, Mangerel'in makalesindeki "koşulsuz korelasyon sınırını" son derece zarif bir descent yöntemiyle birleştirerek ustaca kullandı.

Teoremin temel mantığı olmayana ergi yöntemine dayanır: 3'e bölünmeyen bir m tek sayısının var olduğunu ve 4m ölçeğinde, toplamı 4m olan hiçbir sayı çiftinin Liouville değerlerinin ikisinin de -1 olmadığını varsayalım.

Ardından Astra adım adım ilerledi.

1. 4 ile çarpmak Liouville değerini değiştirmediğinden, m'nin kendisi de Liouville değeri -1 olan iki sayıya ayrıştırılamaz.

2. 2 ile çarpmak Liouville değerini ters çevirdiğinden (fazladan bir 2 asal çarpanı eklenir), 2m Liouville değeri 1 olan iki sayıya ayrıştırılamaz.

3. Ardından AI, a+b=m ve λ(a)=λ(b)=1 olacak şekilde bir çift oluşturup, b−a farkı en küçük olan çifti seçerek ve bunların 3 ile bölünebilirlik ilişkisini kullanarak kaçınılmaz olarak bir çelişki türetti!

4m'nin böyle bir ayrışımı olmadığını varsayarsanız, çarpma ve toplamanın iç içe geçen yaklaşımlarıyla, sonunda yerel olarak tüm sayıların zıt Liouville değerleri taşımaya zorlandığını ve bunun Mangerel'in daha önce kanıtladığı sınırı doğrudan ihlal ettiğini keşfetti.

Böylece, yalnızca basit cebirsel türetmeler kullanarak (türetme sürecini lise öğrencileri bile anlayabilir), Astra koşulsuz olarak geçerli olan durumu keşfetti.

48 Saatte Tüm Çift Sayılar Alanının Kesin Çözümü

Üstelik burada bitmiyor.

Proje yazarı Captain Sude'un açıkladığına göre, Astra ilk gün "4'ün katları" durumunu kanıtladıktan sonra, ikinci gün tamamen yeni bir temel kanıt yolu bularak sonucu doğrudan 2'den büyük tüm çift sayılara genişletti!

Bu kez şu temel iddiayı ortaya koydu:

Burada "yeterince büyük" kısıtlaması yok, sonlu istisna kümesi yok; tüm çift sayılar için koşulsuz olarak geçerli!

Kanıt yaklaşımı ise insanı hayran bırakıyor.

Kaba kuvvet denemesi yapmadı, önceki analitik tahminleri daha da sıkılaştırmaya da çalışmadı; bunun yerine zarif bir "yapısal dönüşüm" gerçekleştirdi.

AI'nın mantık zinciri şöyle:

Birinci adım: Günah keçisi aramak. AI önce, 3'ten büyük her p asal sayısı için, 2p=u+v ve Liouville değerleri 1 olan u,v pozitif tam sayılarının var olduğunu kanıtladı. Peki ya bu doğru olmasaydı? Bu, "toplamsal işaret deseninin eksikliği" anlamına gelirdi.

İkinci adım: Gerçek yüzünü göstermeye zorlamak. Liouville fonksiyonunu Fp sonlu alanına genişleterek bir G fonksiyonu tanımladı. Önceki "toplamsal ayrışımın yokluğu" nedeniyle, bu G fonksiyonu yerel olarak çarpımsal simetri kusurları (Defects) sergilemeye zorlandı.

Üçüncü adım: Kusursuz değişme özelliği. Bu, kanıtın en çarpıcı kısmı! Çünkü -2 ile çarpıp sonra -3 ile çarpmak, -3 ile çarpıp sonra -2 ile çarpmakla aynıdır. AI bu "değişme" özelliğini kullanarak iki yolu birbirini götürttü ve sonunda tüm sıfır olmayan kusurları yok etti!

Dördüncü adım: Küresel yayılım. Bir iniş lemması kullanarak, yerel olarak geçerli olan çarpma kuralını bir virüs gibi tüm sonlu alana yaydı ve G fonksiyonunu küresel olarak katı bir çarpımsal nesne olmaya zorladı.

Beşinci adım: Ölümcül darbe (ikinci dereceden kalanlarla çelişki). G katı bir çarpımsal fonksiyon haline geldiğine göre, herhangi bir sayının karesinin G değeri 1 olmalıdır. Ancak ikinci dereceden karşılıklılık yasasına göre, sonlu alanda bir ℓ asal sayısı bulunabilir; bu sayı bir "kare sayı" olmasına rağmen, asal sayı olduğu için kendi Liouville değeri -1 olmak zorundadır.

Böylece 1 = -1 olur. Çelişki patlak verir!

Böylece başlangıçtaki "ayrışım yok" varsayımı tamamen çürütülmüş oldu. Liouville–Goldbach sanısı tüm çift sayılar alanında koşulsuz olarak doğrudur!

Toplamsal engeli çarpımsal katılığa dönüştüren bu argüman hattı gerçekten çok zarif; yüksek soyutlama ve sezginin zirve düşüncesini yansıtıyor.

Lean 4 Biçimsel Doğrulamasından Geçti

Bu kez Astra aynı zamanda Lean 4'te eksiksiz bir biçimsel doğrulama da sundu.

Lean 4 doğrulamasından geçmek, mantıksal olarak mutlak doğruluk anlamına gelir.

Zhihu'daki kullanıcı @SUNNY99, Astra'nın açık kaynaklı v1.0.0 sürümünü hemen bağımsız olarak inceledi. Sonuç çarpıcıydı: Lean kanıtı kusursuz bir şekilde yeniden derlenebiliyor!

Nihai teorem, makaledeki iddiayla tamamen örtüşüyor. Kodda hiç "sorry" (Lean'de doldurulmamış boşlukları temsil eder) yok, uydurma özel matematik aksiyomları yok, tüm aksiyom bağımlılıkları tamamen normal ve 249 çift sayılık sayısal duman testinin tamamı geçildi.

Buraya kadar okuyan bazı arkadaşlar şunu sorabilir: Bu, Goldbach sanısının tamamen çözüldüğü anlamına mı geliyor?

Kesin konuşmak gerekirse: Henüz değil.

Şu anda çözülen, Goldbach sanısının Liouville zayıflatılmış versiyonudur.

"Asal çarpan sayısı tek olan bileşik sayılar"dan "saf asal sayılar"a geçiş hâlâ aşılması gereken devasa bir uçurumdur. Klasik Goldbach sanısı hâlâ yüksekte asılı duran bir meyvedir.

Ancak bu, bu atılımın büyük olmadığı anlamına kesinlikle gelmez.

Öncelikle, saf matematik açısından, tüm sayılar teorisi için "çarpma yapı taşları" ile "toplama kombinasyonları" arasında görkemli bir köprü kurdu.

Bu, gelecekte orijinal Goldbach sanısını çözmenin anahtarı olabilir.

İkincisi, AI açısından bu tarihi bir tekillik anıdır.

Şimdiye kadar AI'nın devasa bellek ve kaba kuvvet hesaplamada iyi olduğunu düşünüyorduk; örneğin Go oynamak veya protein katlanmasını hesaplamak gibi. Ancak bu kez Astra şaşırtıcı bir matematiksel sezgi ve zevk sergiledi.

Son derece yetenekli bir matematikçi gibi, insan matematikçilerin "zarif" diye nitelendirdiği bir kanıt yazdı.