GPT-6 Astra réalise une percée majeure sur la conjecture de Goldbach !

GPT-6 Astra a accompli en deux jours, sur deux pages, un exploit qui tourmente l'humanité depuis près de 300 ans : une preuve inconditionnelle de la version affaiblie de la conjecture de Goldbach pour la fonction de Liouville, couvrant entièrement le domaine des nombres pairs, et déjà vérifiée formellement avec Lean 4, sans aucune faille. Plus impressionnant encore, cela ne repose pas sur la puissance de calcul brute, mais sur une logique élégante que même les mathématiciens humains jugent remarquable.

Percée majeure en mathématiques !

Tout récemment, GPT-6 Astra a de nouveau progressé sur la conjecture de Goldbach.

L'internaute Captain Sude a annoncé : Astra a réussi à prouver une conjecture analogue à celle de Goldbach sur la fonction de Liouville !

Plus précisément, il a prouvé inconditionnellement la forme faible de Liouville de la conjecture de Goldbach.

Plus étonnant encore, contrairement à ce que l'on pourrait imaginer, Astra ne s'est pas contenté d'une force de calcul écrasante : il a fait preuve d'un raisonnement logique très élégant.

Et cette preuve a maintenant passé la vérification formelle avec Lean 4.

La perle insaisissable

Auparavant, ce fantôme qu'est la conjecture de Goldbach tourmentait les mathématiciens depuis près de trois siècles.

En 1742, Goldbach proposa cette conjecture dans une lettre à Euler : « Tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers. »

D'innombrables esprits s'y sont épuisés. De Hardy et Littlewood à Chen Jingrun prouvant « 1+2 », l'humanité n'a jamais pu atteindre la perle sur la couronne : « 1+1 ».

C'est parce que la distribution des nombres premiers est trop étrange !

Puisque s'acharner ne menait à rien, les mathématiciens ont eu une idée ingénieuse : créer une « version de substitution » — la version de la conjecture de Goldbach pour la fonction de Liouville.

Pour simuler les nombres premiers, les mathématiciens ont introduit un outil merveilleux : la fonction de Liouville.

Cette fonction est notée , où représente le nombre total de facteurs premiers contenus dans un nombre.

Sa règle fonctionne comme un interrupteur qui ne reconnaît que les nombres pairs et impairs : si le nombre de facteurs premiers d'un nombre est pair, alors λ(n)=1.

Si le nombre de facteurs premiers est impair, alors λ(n)=-1.

Tous les nombres premiers (comme 2, 3, 5, 7, 11) ont une valeur de Liouville absolument égale à -1 ! Cependant, la réciproque n'est pas vraie : par exemple, 8 et 12 ont aussi une valeur λ de -1.

En 2018, sur le célèbre forum mathématique MathOverflow, quelqu'un a proposé une version affaiblie de la conjecture de Goldbach :

Pour tout nombre pair N supérieur à 2, peut-on toujours trouver deux entiers positifs a et b tels que N=a+b et λ(a)=λ(b)=−1 ?

Si la conjecture de Goldbach classique est vraie, alors les valeurs de Liouville de ces deux nombres premiers sont nécessairement -1, donc cette « conjecture de Liouville » est aussi absolument vraie.

Mais maintenant, les mathématiciens ont assoupli la condition : les termes de la somme ne doivent pas nécessairement être des nombres premiers purs, il suffit que leur nombre de facteurs premiers soit impair !

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Puisque les conditions ont été assouplies, cela devrait être facile à prouver, non ? Eh bien, cela reste incroyablement difficile !

Le cœur du problème est que les mathématiciens veulent étudier si ces signes alternés positifs et négatifs, sous l'effet de l'addition, s'annulent comme des lancers de pièce, révélant ainsi un ordre profond caché sous l'addition. Il s'agit de jeter un pont entre les « briques multiplicatives » et les « combinaisons additives » en mathématiques.

Ce n'est qu'en 2024 que le mathématicien Alexander P. Mangerel a enfin fait une percée. Dans un article, il a prouvé que pour tous les nombres pairs suffisamment grands, cette conjecture est vraie.

Lien : https://arxiv.org/abs/2404.12117

Mais ! Sa preuve comporte deux restrictions.

1. « Suffisamment grand » : cela signifie qu'elle n'inclut pas ces nombres pairs relativement petits.

2. « GRH » : sa preuve repose lourdement sur l'hypothèse de Riemann généralisée. Autrement dit, sa conclusion n'est valable que si l'hypothèse de Riemann généralisée est vérifiée.

Et cette fois, Astra et l'équipe de Captain Sude ont directement brisé ces deux carcans !

Au début, Astra a sorti un PDF de seulement 2 pages.

Dans cet article concis, Astra annonce —

Sans recourir à l'hypothèse de Riemann généralisée, on peut prouver inconditionnellement : tout entier positif divisible par 4 peut s'écrire comme la somme de deux entiers positifs dont la valeur de Liouville est -1 !

Dans le PDF, Astra exploite habilement une « borne de corrélation inconditionnelle » de l'article de Mangerel, combinée à une méthode de descente extrêmement ingénieuse.

La logique centrale du théorème repose sur un raisonnement par l'absurde : supposons qu'il existe un entier impair m (non divisible par 3) tel qu'à l'échelle de 4m, aucune paire de nombres dont la somme vaut 4m n'ait ses deux valeurs de Liouville égales à -1.

Ensuite, Astra resserre progressivement l'étau.

1. Comme multiplier par 4 ne change pas la valeur de Liouville, m lui-même ne peut pas être décomposé en deux nombres de signe négatif.

2. Comme multiplier par 2 inverse la valeur de Liouville (ajout d'un facteur premier 2), 2m ne peut pas être décomposé en deux nombres de signe positif.

3. Ensuite, l'IA construit le cas a+b=m avec λ(a)=λ(b)=1, choisit la paire dont la différence b−a est minimale, et exploite leur relation de divisibilité avec 3 pour aboutir de force à une contradiction !

Il découvre que si l'on suppose que 4m n'a pas une telle décomposition, alors par l'alternance de la multiplication et de l'addition, on finit localement par forcer tous les nombres à avoir des signes opposés, ce qui contredit directement la borne prouvée précédemment par Mangerel.

Ainsi, avec de simples dérivations algébriques élémentaires (compréhensibles même par un lycéen), Astra a ainsi découvert un cas inconditionnellement vrai.

48 heures pour clore définitivement tout le domaine des nombres pairs

Et ce n'est pas fini.

Selon l'auteur du projet, Captain Sude, après avoir prouvé le cas des « multiples de 4 » le premier jour, Astra a trouvé le deuxième jour une toute nouvelle voie de preuve élémentaire, généralisant directement le résultat à tous les nombres pairs supérieurs à 2 !

Cette fois, il a énoncé cette affirmation centrale :

Sans aucune restriction de « suffisamment grand », sans ensemble exceptionnel fini, tous les nombres pairs, inconditionnellement vrai !

Et son approche de preuve est tout simplement époustouflante.

Elle n'a pas utilisé la force brute, ni resserré davantage les estimations analytiques antérieures, mais a réalisé une magnifique « transformation structurelle ».

La chaîne logique de l'IA est la suivante.

Première étape : chercher un bouc émissaire. L'IA prouve d'abord que pour tout nombre premier p supérieur à 3, il existe des entiers positifs u,v tels que 2p=u+v et leurs valeurs de Liouville soient toutes deux égales à 1. Que se passerait-il si ce n'était pas le cas ? Cela constituerait une « absence de motif de signe additif ».

Deuxième étape : forcer la révélation. On étend la fonction de Liouville au corps fini Fp et on définit une fonction G. En raison de l'inexistence de la « décomposition additive » précédente, cette fonction G est localement contrainte à présenter des défauts de symétrie multiplicative.

Troisième étape : la commutativité parfaite. C'est le coup le plus éblouissant de la preuve ! Parce que multiplier par -2 puis par -3 revient au même que multiplier par -3 puis par -2. L'IA exploite cette propriété de « commutativité » pour que les deux chemins s'annulent mutuellement, éliminant finalement tous les défauts non nuls !

Quatrième étape : propagation globale. À l'aide d'un lemme de descente, la règle multiplicative localement valable se propage comme un virus à tout le corps fini, forçant la fonction G à devenir un objet strictement multiplicatif global.

Cinquième étape : le coup de grâce (contradiction par les résidus quadratiques). Puisque G est devenue une fonction strictement multiplicative, le carré de tout nombre doit avoir une valeur G égale à 1. Or, d'après la loi de réciprocité quadratique, on peut trouver dans le corps fini un nombre premier ℓ qui est bien un « carré », mais comme c'est un nombre premier, sa propre valeur de Liouville doit être -1.

D'où 1 = -1. Contradiction éclatante !

À ce stade, l'hypothèse initiale de « non-existence de décomposition » est complètement anéantie. La conjecture de Liouville–Goldbach est inconditionnellement vraie sur tout le domaine des nombres pairs !

Cette ligne d'argumentation qui transforme l'obstruction additive en rigidité multiplicative est d'une élégance remarquable, témoignant d'une pensée de haut niveau alliant abstraction et intuition.

Vérification formelle passée avec Lean 4

Cette fois, Astra a également soumis simultanément une vérification formelle complète avec Lean 4.

Passer la vérification Lean 4 signifie une exactitude logique absolue.

Sur Zhihu, l'utilisateur @SUNNY99 a immédiatement procédé à une relecture indépendante de la version open source v1.0.0 d'Astra. Le résultat est stupéfiant : la preuve Lean se recompile parfaitement !

Le théorème final correspond exactement à l'affirmation de l'article. Le code ne contient aucun « sorry » (qui représente en Lean une lacune non comblée), aucun axiome mathématique personnalisé inventé, toutes les dépendances d'axiomes sont parfaitement normales, et les tests numériques de fumée sur 249 nombres pairs passent tous.

À ce stade, certains lecteurs pourraient se demander : cela signifie-t-il que la conjecture de Goldbach est définitivement résolue ?

Nous devons être rigoureux : pas encore.

Ce qui est résolu actuellement, c'est la version affaiblie de Liouville de la conjecture de Goldbach.

Passer des « nombres composés ayant un nombre impair de facteurs premiers » aux « nombres premiers purs » reste un gouffre infranchissable. La conjecture de Goldbach classique demeure ce fruit suspendu hors de portée.

Mais cela ne diminue en rien la grandeur de cette percée.

D'abord, au sens des mathématiques pures, elle jette un pont grandiose entre les « briques multiplicatives » et les « combinaisons additives » en théorie des nombres.

C'est peut-être la clé essentielle pour résoudre un jour la conjecture de Goldbach originale.

Ensuite, au sens de l'IA, c'est un moment de singularité historique.

Jusqu'à présent, nous pensions que l'IA excellait dans la mémorisation massive et le calcul brutal, comme jouer au go ou calculer le repliement des protéines. Mais cette fois, Astra a fait preuve d'une intuition et d'un goût mathématiques remarquables.

Tel un mathématicien de grand talent, il a rédigé une preuve que les mathématiciens humains qualifient d'élégante.